Mondate e tagliate a fette sottili le melanzane nel senso della lunghezza. Disponete le fette su un piatto ben coperte di sale grosso e copritele con qualcosa di pesante. Collocate il piatto in modo che stia inclinato per far scolare l'acqua di vegetazione delle melanzane. Preparate il sugo soffriggendo un cucchiaio di trito d'aglio e cipolla in poco olio. Aggiungete i pomodori a pezzi e cuocete a fiamma bassa. Quando i pomodori saranno sfatti, aggiungete mezzo bicchiere di latte e l'estratto per brodo. Mescolate e lasciate cuocere a fiamma molto bassa. Cuocete i tagliolini e scolateli a metà cottura. Fateli saltare in padella con metà del sugo. Sciacquate bene le melanzane, avvolgetele intorno a grosse forchettate di tagliolini e disponete i fagottini in una teglia da forno imburrata. Copriteli con la besciamella, il resto del sugo, una spolverata di parmigiano e fiocchetti di burro. Fate gratinare per 10 minuti in forno a 180 gradi.